正規分布の確率密度関数(ガウス関数)のフーリエ変換

命題

正規分布$N(\mu ,{\sigma }^2)$の確率密度関数

$$x(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp [-\frac{(t-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}]$$

のフーリエ変換は、

$$X(\omega )=\exp [-\frac{{\sigma }^2{\omega }^2}{2}-i\mu \omega ]$$

である。

特に標準正規分布$N(0,1)$の確率密度関数

$$x(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp [-\frac{t^2}{2}]$$

のフーリエ変換は、

$$X(\omega )=\exp [-\frac{{\omega }^2}{2}]$$

証明

定義に従って計算してもよいが、まず次の補題を示す。

時間軸推移公式

$x(t)$のフーリエ変換を$X(\omega )$とする。

$x(t-\tau )$のフーリエ変換は、$e^{-i\omega \tau }X(\omega )$

実際、フーリエ変換の定義にあてはめて

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(t-\tau )e^{-i\omega t}dt$$

$s=t-\tau$の置換積分を行うと、

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(s)e^{-i\omega (s+\tau )}ds=e^{-i\omega \tau }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(s)e^{-i\omega s}ds=e^{-i\omega \tau }X(\omega )$$

である。

これは時間領域における遅延(time delay)は、振幅スペクトルには影響を及ぼさないが、位相スペクトルには線形に影響を及ぼす(線形位相特性 linear phase characteristic)ことを示している。

さて、もとの問題に戻って、

$$y(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp [-\frac{t^2}{2{\sigma }^2}]$$

とおくと、

$$x(t)=y(t-\mu )$$

であるから、上の補題により、

$$X(\omega )=e^{-i\omega \mu }Y(\omega )$$

結局、

$$Y(\omega )=\exp [-\frac{{\sigma }^2{\omega }^2}{2}]$$

を示せば良い。

$$Y(\omega )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}y(t)\cdot e^{-i\omega t}dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp [-\frac{t^2}{2{\sigma }^2}-i\omega t]dt$$

指数の肩を平方完成すると、

$$Y(\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp [-\frac{(t+i{\sigma }^2\omega {)}^2}{2{\sigma }^2}-\frac{{\sigma }^2{\omega }^2}{2}]dt=\exp [-\frac{{\sigma }^2{\omega }^2}{2}]\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp [-\frac{(t+i{\sigma }^2\omega {)}^2}{2{\sigma }^2}]dt$$

積分部分を$I$とおき、$u=\frac{t}{\sigma }+i\sigma \omega$により置換積分すると、

$$I=\sigma {\int }_{i\sigma \omega -\mathrm{\infty }}^{i\sigma \omega +\mathrm{\infty }}\exp [-\frac{u^2}{2}]du$$

この積分は、以前の記事 標準正規分布に従う確率変数のコサインの期待値 で既にやったが、改めてやっておこう。

正の実数$R$を取り、$-R,-R+i\sigma \omega ,R+i\sigma \omega ,R$の各点を結ぶ長方形の積分路を考える。

$$C_1:-R\to -R+i\sigma \omega$$

$$C_2:-R+i\sigma \omega \to R+i\sigma \omega$$

$$C_3:R+i\sigma \omega \to R$$

$$C_4:R\to -R$$

$$C:C_1+C_2+C_3+C_4$$

とする。

$C$は単純閉曲線であり、$\exp [-\frac{u^2}{2}]$は正則であるから、Cauchyの積分定理により、

$${\int }_C\exp [-\frac{u^2}{2}]du=0$$

また、$R$が十分大きいとき、

$$|{\int }_{C_1}\exp [-\frac{u^2}{2}]du|=|{\int }_0^1\exp [-\frac{(-R+i\sigma \omega t{)}^2}{2}]dt|\le {\int }_0^1|\exp [-\frac{(-R+i\sigma \omega t{)}^2}{2}]|dt={\int }_0^1\exp [-\mathrm{\Re }\frac{(-R+i\sigma \omega t{)}^2}{2}]dt={\int }_0^1\exp [-\frac{R^2-(\sigma \omega t{)}^2}{2}]dt\le {\int }_0^1\exp [-\frac{R^2-{\sigma }^2{\omega }^2}{2}]dt=\exp [-\frac{R^2-{\sigma }^2{\omega }^2}{2}]$$

なので、$R\to \mathrm{\infty }$の極限を取ると、

$${\int }_{C_1}\exp [-\frac{u^2}{2}]du\to 0$$

同様に、

$${\int }_{C_3}\exp [-\frac{u^2}{2}]du\to 0$$

そこで、$R\to \mathrm{\infty }$において、

$${\int }_{C_2}\exp [-\frac{u^2}{2}]du+{\int }_{C_4}\exp [-\frac{u^2}{2}]du\to 0$$

右辺の第二項は、実軸上でのガウス積分であり、

$${\int }_{C_4}\exp [-\frac{u^2}{2}]du\to -\sqrt{2\pi }$$

よって、

$${\int }_{C_2}\exp [-\frac{u^2}{2}]du\to \sqrt{2\pi }$$

結局、

$$I=\sigma \sqrt{2\pi }$$

なので、

$$Y(\omega )=\exp [-\frac{{\sigma }^2{\omega }^2}{2}]\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\cdot \sigma \sqrt{2\pi }=\exp [-\frac{{\sigma }^2{\omega }^2}{2}]$$

よって示された。

補足

標準正規分布の確率密度関数は、係数を除き、フーリエ変換の前後で同じ形をしていることから、フーリエ変換における不動点の一つとみなすことができる。

なお、フーリエ変換の定義式のバリアントの一つに$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$の係数をつける流儀もあり、それに従うと係数も含めて完全に一致する。

このような関数変換における不動点は、self-reciprocal function と呼ばれる。

フーリエ変換のself-reciprocal functionとしては、他に$\frac{1}{\sqrt{|t|}}$などが知られている(フーリエ変換のself-reciprocal functionの例)。

以前、 標準正規分布に従う確率変数のコサインの期待値 を求めたが、 この命題が示されてから振り返ると、標準正規分布の確率分布関数のフーリエ変換に$\omega =1$を代入したのと同じである。

実際、フーリエ変換とは、$\exp [-i\omega t]$の期待値を求めていることにほかならない。

そこで、標準正規分布$N(0,1)$の確率密度関数

$$x(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp [-\frac{t^2}{2}]$$

のフーリエ変換は、

$$X(\omega )=E[e^{-i\omega t}]$$

であるが、オイラーの公式により、

$$e^{-i\omega t}=\cos \omega t-i\sin \omega t$$

を代入すると、

$$X(\omega )=E[\cos \omega t-i\sin \omega t]=E[\cos \omega t]-iE[\sin \omega t]$$

$x(t)$は偶関数であるから、

$$E[\sin \omega t]=0$$

よって、

$$X(\omega )=E[\cos \omega t]$$

今回の結果を使うと、

$$E[\cos t]=X(1)=\exp [-\frac{1^2}{2}]=\frac{1}{\sqrt{e}}$$

確率密度関数のフーリエ変換の共役を一般に、特性関数(characteristic function)という。

$$\varphi (\omega )=E[e^{i\omega t}]=\overline{E[e^{-i\omega t}]}$$

この文脈の場合、確率変数には$X$、特性関数の引数には$t$を用いることが多く、

$$\varphi (t)=E[e^{itX}]$$

と普通は書かれる。

そこで、ここで証明した命題を確率論の言葉で書けば次のようになる。

正規分布$N(\mu ,{\sigma }^2)$の確率密度関数は

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp [-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}]$$

特性関数は、

$$\varphi (t)=\exp [-\frac{{\sigma }^2{t}^2}{2}+i\mu t]$$

である。

特に標準正規分布$N(0,1)$の確率密度関数は

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp [-\frac{x^2}{2}]$$

特性関数は、

$$\varphi (t)=\exp [-\frac{t^2}{2}]$$

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