可測空間と位相空間の比較
簡潔な定義
まず、位相空間と可測空間について、定義をシンプルに述べる。
位相空間 (topological space)
集合$X$に対して、$X$の部分集合族$\mathcal{O}$が定義されていて、$\mathcal{O}$は空集合$\emptyset$と$X$を含み、任意の合併(非可算無限でもよい)、有限個の交叉について閉じているとき、組$(X, \mathcal{O})$を位相空間という。($\mathcal{O}$を$X$の開集合系という。)
可測空間 (measureable space)
集合$X$に対して、$X$の部分集合族$\mathcal{B}$が定義されていて、$\mathcal{B}$は空集合$\emptyset$と$X$を含み、可算個の交叉・合併、補集合について閉じているとき、組$(X, \mathcal{B})$を可測空間という。($\mathcal{B}$を$X$のσ代数という。)
違い
定義を書き下すと違いは明白であり、「どの操作について閉じているか」が違う。
表にまとめると次のようになる。
| 開集合系 | σ代数 | |
|---|---|---|
| $\emptyset$を含む | Yes | Yes |
| $X$を含む | Yes | Yes |
| 有限個の合併 | Yes | Yes |
| 可算個の合併 | Yes | Yes |
| 任意の合併 | Yes | No |
| 有限個の交叉 | Yes | Yes |
| 可算個の交叉 | No | Yes |
| 任意の交叉 | No | No |
| 補集合 | No | Yes |
自明な位相空間・可測空間
特殊な例として、$\mathcal{X}=\{\emptyset, X\}$とすると、$\mathcal{X}$は、位相空間および可測空間を定める。それぞれ、自明な(trivial)位相、自明なσ代数という。位相空間については、密着位相という言い方もする。
また、別の特殊な例として、$\mathcal{X}=2^X$とすると、これもまた、位相空間及び可測空間を定める。それぞれ、離散(discrete)位相、離散σ代数という。
集合$X$上に考えられる部分集合族には、集合の包含関係により定まる順序があるが、この順序でより小さい方を粗い(coarse)といい、より大きい方を細かい(fine)という。
自明な位相・σ代数は、それぞれで最も粗いものであり、離散位相・σ代数は、それぞれで最も細かいものである。
ボレル集合体 (Borel σ-algebara)
集合$X$の部分集合族$\mathcal{X}$を含む最小の（最も粗い）σ代数を考えることができる。これは、閉包を取っているようなものだが、$\mathcal{X}$が生成する(generate)σ代数、という言い方をする。離散σ代数があるため、このようなσ代数の存在は保証される。
位相空間$X$の開集合系$\mathcal{O}$が生成するσ代数を、$X$のボレル集合体と言う。
ボレル集合体を考えることによって、位相空間と可測空間の概念との間を埋めることができる。
開集合の補集合を閉集合と言った。
ボレル集合体は、開集合の補集合も要素に持つから、すべての開集合と閉集合を含む最小のσ代数である。
ボレル集合体の例
集合$X = \{1, 2, 3\}$とする。 部分集合族$\mathcal{O} = \{ \emptyset, \{1\}, \{1, 2\}, \{1, 2, 3\}\}$は、$X$に位相を定める。
実際、$\mathcal{O}$は合併・交叉について閉じている。
この位相に対して、ボレル集合族$\mathcal{B}[\mathcal{O}]$を考えると、
- $\mathcal{B}[\mathcal{O}]$は、$\{1\}$を含むので、$\{1\}^c = \{2, 3\}$を含む
- $\mathcal{B}[\mathcal{O}]$は、$\{1, 2\}$を含むので、$\{1, 2\}^c = \{3\}$を含む
- $\mathcal{B}[\mathcal{O}]$は、$\{2, 3\}$と$\{1, 2\}$を含むので、$\{2, 3\}\cap\{1, 2\} = \{2\}$を含む。
- $\mathcal{B}[\mathcal{O}]$は、$\{1\}$と$\{3\}$を含むので、$\{1\}\cup\{3\} = \{1, 3\}$を含む。
というように、$\mathcal{B}[\mathcal{O}]$の元を次々と生成することができ、結局 $\mathcal{B}[\mathcal{O}] = \{ \emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 3\}, \{1, 2, 3\}\} = 2^X$となる。
すなわち、この位相に対するボレル集合族は離散σ代数である。
一方同じ集合$X$に対して、 開集合系$\mathcal{O} = \{ \emptyset, \{1\}, \{1, 2, 3\}\}$を考えたときは、
$\mathcal{B}[\mathcal{O}] = \{ \emptyset, \{1\}, \{2, 3\}, \{1, 2, 3\}\}$となり、非自明な(離散でない)σ代数が得られる。