ボンフェロニの不等式

March 12, 2021

Bonferroniの不等式

$(X, B, P)$ を確率空間とする。事象の列 ${A_{k} \in B}_{k \in N}$ について、次が成り立つ。

$P (⋂_{k = 1}^{\infty} A_{k}) \geq 1 - \sum_{k = 1}^{\infty} P (A_{k}^{c})$

証明

ドモルガンの法則より

$⋂_{k = 1}^{\infty} A_{k} = (⋃_{k = 1}^{\infty} A_{k}^{c})^{c}$

したがって、

$P (⋂_{k = 1}^{\infty} A_{k}) = P ((⋃_{k = 1}^{\infty} A_{k}^{c})^{c}) = 1 - P (⋃_{k = 1}^{\infty} A_{k}^{c})$

ここで、事象の列 ${B_{k} \in B}_{k \in N}$ を、次のように取る。

$B_{1} = A_{1}^{c}$ $B_{2} = A_{2}^{c} - A_{1}^{c}$ $B_{3} = A_{3}^{c} - (A_{1}^{c} \cup A_{2}^{c})$ $B_{4} = A_{4}^{c} - (A_{1}^{c} \cup A_{2}^{c} \cup A_{3}^{c})$ $B_{k} = A_{k}^{c} - ⋃_{i = 1}^{k - 1} A_{i}^{c}$

このとき、

$⋃_{k = 1}^{\infty} A_{k}^{c} = ⨆_{k = 1}^{\infty} B_{k}$

が成り立つ。ここで右辺は、非交和(disjoint union)の意味である。

また、

$\forall k \in N; B_{k} \subset A_{k}^{c}$

が成り立つ。

そこで、

$P (⋃_{k = 1}^{\infty} A_{k}^{c}) = P (⨆_{k = 1}^{\infty} B_{k}) = \sum_{k = 1}^{\infty} P (B_{k}) \leq \sum_{k = 1}^{\infty} P (A_{k}^{c})$

よって、 $P (⋂_{k = 1}^{\infty} A_{k}) = 1 - P (⋃_{k = 1}^{\infty} A_{k}^{c}) \geq 1 - \sum_{k = 1}^{\infty} P (A_{k}^{c})$

が成り立つ。Q.E.D.

補足

Bonferroniの不等式は、積事象の確率の下界を見積もるのに使用できる。

ただし、右辺が負になる場合は、意味を持たない。

確率は0以上の値を取るものとして定義されているので、自明な不等式になってしまう。