ウォリスの公式

命題

次の等式が成り立つ。

$$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{4n^2}{4n^2-1}=\frac{\pi }{2}$$

別の形式

この式は次のように書くこともできる。

左辺を因数分解すると、

$$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2n}{2n+1}\cdot \frac{2n}{2n-1}=\frac{\pi }{2}$$

二重階乗を使うと、

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}=\frac{\pi }{2}$$

逆数を取ると、

$$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{(2n{)}^2})=\frac{2}{\pi }$$

二重階乗の形式を変形すると、

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}\right)}^2(2n+1)=\frac{\pi }{2}$$

両辺の平方根を取って、

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}\sqrt{2n+1}=\sqrt{\frac{\pi }{2}}$$

左辺に$(2n)!!$を乗じると、

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\{(2n)!!{\}}^2}{(2n+1)!}\sqrt{2n+1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\{(2n)!!{\}}^2}{\sqrt{2n+1}(2n)!}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(2^{n}n!{)}^2}{\sqrt{2n+1}(2n)!}=\sqrt{\frac{\pi }{2}}$$

$\frac{\sqrt{2n+1}}{\sqrt{2n}}\to 1$だから、

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2^{2n}(n!{)}^2}{\sqrt{n}(2n)!}=\sqrt{\pi }$$

この形式も非常によく使われる。

さらに、$\frac{(2n)!}{(n!{)}^2}$は、$2n$個の中から$n$個を選ぶ組み合わせ(combination)の数 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})$なので、$n$が十分大きいときに、

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})\sim \frac{2^{2n}}{\sqrt{n\pi }}$$

という漸近があるという風にも読める。

正弦関数の因数分解による証明

バーゼル問題 でみたが、正弦関数は形式的に次のように因数分解される。

$$\sin x=x(1-\frac{x^2}{{\pi }^2})(1-\frac{x^2}{2^2{\pi }^2})\dots (1-\frac{x^2}{n^2{\pi }^2})\dots$$

$x=\frac{\pi }{2}$を代入すると、

$$\sin \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}(1-\frac{(\frac{\pi }{2}{)}^2}{{\pi }^2})(1-\frac{(\frac{\pi }{2}{)}^2}{2^2{\pi }^2})\dots (1-\frac{(\frac{\pi }{2}{)}^2}{n^2{\pi }^2})\dots$$

$$1=\frac{\pi }{2}(1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{2^2{2}^2})\dots (1-\frac{1}{2^2{n}^2})\dots$$

両辺に$\frac{2}{\pi }$を乗じると、

$$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{(2n{)}^2})=\frac{2}{\pi }$$

を得る。

ウォリス積分による証明

ウォリス積分と呼ばれる以下の積分を利用した証明方法もあり、これも面白い。

$$I_m={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{m}xdx$$

被積分関数${\sin }^{m}x$のグラフは次のような形である。

$m$が増大にするにしたがって、$\frac{\pi }{2}$の部分は尖り、$0$の部分は緩やかになる。

ウォリス積分は、このグラフと$x$軸が区間$[0,\frac{\pi }{2}]$で囲む(山の半分の)面積であると言える。

$m$が増大するのにしたがって、山の形は急峻になるので、面積は$0$に収束する。

後で見るが、ウォリス積分からウォリスの公式を導く際には、この面積自体ではなく、$I_m$と$I_{m+1}$の比に注目する。

なお、${\cos }^{m}x$のグラフは次のような形になる。

区間$[0,\frac{\pi }{2}]$は同じ山の形の(右)半分であるから、ウォリス積分は、

$$I_m={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{m}xdx$$

として定義してもよい。

さて、部分積分により、

$$I_m={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{(m-1)}x\sin xdx$$

$$I_m=[{\sin }^{(m-1)}x(-\cos x){]}_0^{\frac{\pi }{2}}-{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(m-1){\sin }^{(m-2)}x\cos x(-\cos x)dx$$

$$I_m=(m-1){\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{(m-2)}x{\cos }^{2}xdx$$

$$I_m=(m-1){\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{(m-2)}x(1-{\sin }^{2}x)dx$$

$$I_m=(m-1){\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{(m-2)}xdx-(m-1){\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{m}xdx$$

$$I_m=(m-1)I_{m-2}-(m-1)I_m$$

$$m{I}_m=(m-1)I_{m-2}$$

$$I_m=\frac{m-1}{m}{I}_{m-2}$$

という漸化式が得られる。

$$I_0=\frac{\pi }{2}$$

$$I_1=1$$

に注意して、$m$が偶数の場合と奇数の場合で、上の漸化式を繰り返し適用すると、

$$I_{2n}=\frac{(2n-1)!!}{2n!!}{I}_0=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{\pi }{2}$$

$$I_{2n+1}=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}{I}_1=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}$$

となる。

一方、$\{I_m\}$は単調減少列であるから

$$0<I_{2n+1}<I_{2n}<I_{2n-1}$$

各辺を$I_{2n+1}$で割ると、

$$1=\frac{I_{2n+1}}{I_{2n+1}}<\frac{I_{2n}}{I_{2n+1}}<\frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}}=\frac{2n+1}{2n}$$

よって、

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}=1$$

すなわち、隣り合う項の比は$1$に収束する。

$$\frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}=\frac{\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}}{\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{\pi }{2}}=\frac{2}{\pi }\frac{(2n)!!(2n)!!}{(2n+1)!!(2n-1)!!}$$

なので、結局、

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2}{\pi }\frac{(2n)!!(2n)!!}{(2n+1)!!(2n-1)!!}=1$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(2n)!!(2n)!!}{(2n+1)!!(2n-1)!!}=\frac{\pi }{2}$$

となり、ウォリスの公式が得られた。

ウォリス積分の漸近

さて、もう少しウォリス積分について調べよう。隣り合う項の積を考える。

漸化式

$$I_m=\frac{m-1}{m}{I}_{m-2}$$

より、

$$(m+1)I_{m+1}{I}_m=(m+1)\frac{m}{m+1}{I}_{m-1}{I}_m=m{I}_m{I}_{m-1}$$

これを繰り返し用いると、結局、

$$(m+1)I_{m+1}{I}_m=1I_1{I}_0=\frac{\pi }{2}$$

先の結果から、$I_{m+1}\sim I_m$であり、また$m+1\sim m$なので、$m{I}_m^2\sim \frac{\pi }{2}$

すなわち、

$$\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{m}{I}_m=\sqrt{\frac{\pi }{2}}$$

となり、

$$I_m\sim \sqrt{\frac{\pi }{2m}}$$

がわかる。

ウォリス積分をグラフに表すと次のようになる。

補足

ウォリスの公式は、$(1+x{)}^{2n}$の$x^n$の係数がおおよそ$4^n/\sqrt{n\pi }$となることを意味している。

スターリングの公式という階乗(もしくはガンマ関数)の近似公式の証明に使われることがある。

また、ガウス積分を求めるのにも利用され、意外といろいろな応用がある公式である。