放物線の直交軌道
問題
放物線の族
$$ P = \{P_k : y = k x^2 | k \in \mathbb{R}\} $$
の各放物線に直交する曲線の族を求めよ。
解答
$$ y = k x^2 $$
を微分すると、
$$ \frac{dy}{dx} = 2kx $$
直交する直線の傾きの積は-1なので、直交する曲線では、
$$ \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2kx} $$
となる。
一方、最初の式から
$$ k = \frac{y}{x^2} $$
なので、結局、
$$ \frac{dy}{dx} = - \frac{1}{2 \frac{y}{x^2} x} = - \frac{x}{2y} $$
整理すると、
$$ xdx + 2ydy = 0 $$
両辺積分して、
$$ \frac{1}{2} x ^ 2 + y^2 = C $$
$C = c^2$とおいて、整理すると、
$$ \frac{x^2}{(\sqrt{2}c)^2} + \frac{y^2}{c^2} = 1 $$
よって求める曲線族は、
$$ E = \{E_c : \frac{x^2}{(\sqrt{2}c)^2} + \frac{y^2}{c^2} = 1 | c \in \mathbb{R}\} $$
となる。
これは、長軸が短軸の$\sqrt{2}$倍で、長軸がx軸、短軸がy軸であるような楕円の族である。
補足
このように、ある曲線族に対して、それに直交する曲線族を、直交軌道(orthogonal trajectory)という。
逆に、一般化して、長軸が短軸の$a$倍で、長軸がx軸、短軸がy軸であるような楕円の族の直交軌道を求めてみよう。
$$ E = \{E_c : \frac{x^2}{(ac)^2} + \frac{y^2}{c^2} = 1 | c \in \mathbb{R}\} $$
$$ \frac{x^2}{(ac)^2} + \frac{y^2}{c^2} = 1 $$
を微分して、
$$ \frac{2x}{(ac)^2}dx + \frac{2y}{c^2}dy = 0 $$
$$ \frac{x}{a^2}dx + ydy = 0 $$
直交軌道では、
$$ ydx - \frac{x}{a^2}dy = 0 $$
となる。変数分離すると、
$$ \frac{dy}{y} = a^2 \frac{dx}{x} $$
積分して、
$$ \log{|y|} = a^2 \log{|x|} + C $$
$k = e^C$とすれば、
$$ y = k |x|^{a^2} $$
よって、求める曲線族は、
$$ P = \{P_k : y = k |x|^{a^2} | k \in \mathbb{R}\} $$
これはべき関数の族である。