放物線の直交軌道

August 19, 2024

問題

放物線の族

$P = {P_{k} : y = k x^{2} | k \in R}$

の各放物線に直交する曲線の族を求めよ。

$y = k x^{2}$

を微分すると、

$\frac{d y}{d x} = 2 k x$

直交する直線の傾きの積は-1なので、直交する曲線では、

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{2 k x}$

となる。

一方、最初の式から

$k = \frac{y}{x^{2}}$

なので、結局、

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{2 \frac{y}{x^{2}} x} = - \frac{x}{2 y}$

整理すると、

$x d x + 2 y d y = 0$

両辺積分して、

$\frac{1}{2} x^{2} + y^{2} = C$

$C = c^{2}$ とおいて、整理すると、

$\frac{x^{2}}{(\sqrt{2} c)^{2}} + \frac{y^{2}}{c^{2}} = 1$

よって求める曲線族は、

$E = {E_{c} : \frac{x^{2}}{(\sqrt{2} c)^{2}} + \frac{y^{2}}{c^{2}} = 1 | c \in R}$

となる。

これは、長軸が短軸の $\sqrt{2}$ 倍で、長軸がx軸、短軸がy軸であるような楕円の族である。

このように、ある曲線族に対して、それに直交する曲線族を、直交軌道(orthogonal trajectory)という。

逆に、一般化して、長軸が短軸の $a$ 倍で、長軸がx軸、短軸がy軸であるような楕円の族の直交軌道を求めてみよう。

$E = {E_{c} : \frac{x^{2}}{(a c)^{2}} + \frac{y^{2}}{c^{2}} = 1 | c \in R}$

$\frac{x^{2}}{(a c)^{2}} + \frac{y^{2}}{c^{2}} = 1$

を微分して、

$\frac{2 x}{(a c)^{2}} d x + \frac{2 y}{c^{2}} d y = 0$

$\frac{x}{a^{2}} d x + y d y = 0$

直交軌道では、

$y d x - \frac{x}{a^{2}} d y = 0$

となる。変数分離すると、

$\frac{d y}{y} = a^{2} \frac{d x}{x}$

積分して、

$\log | y | = a^{2} \log | x | + C$

$k = e^{C}$ とすれば、

$y = k | x |^{a^{2}}$

よって、求める曲線族は、

$P = {P_{k} : y = k | x |^{a^{2}} | k \in R}$

これはべき関数の族である。