標準正規分布に従う確率変数のコサインの期待値

September 28, 2020

命題

標準正規分布 $N (0, 1)$ に従う確率変数 $X$ について、 $\cos X$ の期待値は $\frac{1}{\sqrt{e}}$ である。

証明1

標準正規分布の確率密度関数は、

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp [- \frac{x^{2}}{2}]$

であるから、 $\cos X$ の期待値は

$E [\cos X] = \int_{- \infty}^{\infty} \cos x \cdot f (x) d x = \int_{- \infty}^{\infty} \cos x \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp [- \frac{x^{2}}{2}] d x$

なので、この積分を計算する。

$\cos x = \frac{e^{i x} + e^{- i x}}{2}$ により次のようになる。

$E [\cos X] = \frac{1}{2 \sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} \exp [- \frac{x^{2}}{2} + i x] d x + \frac{1}{2 \sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} \exp [- \frac{x^{2}}{2} - i x] d x$

$t = - x$ の置換積分により、右辺の第一項と第二項は同じであることが示されるので

$E [\cos X] = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} \exp [- \frac{x^{2}}{2} - i x] d x$

を計算すればよい。

被積分関数の指数の肩を平方完成すると、

$E [\cos X] = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} \exp [- \frac{(x + i)^{2}}{2} - \frac{1}{2}] d x = \frac{1}{\sqrt{e} \cdot \sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} \exp [- \frac{(x + i)^{2}}{2}] d x$

$z = x + i$ により置換すると、

$E [\cos X] = \frac{1}{\sqrt{e} \cdot \sqrt{2 π}} \int_{i - \infty}^{i + \infty} \exp [- \frac{z^{2}}{2}] d z$

なる複素積分となる。

ここで、正の実数 $R$ を取り、 $- R, - R + i, R + i, R$ の各点を結ぶ長方形の積分路を考える。

$C_{1} : - R \to - R + i$

$C_{2} : - R + i \to R + i$

$C_{3} : R + i \to R$

$C_{4} : R \to - R$

$C : C_{1} + C_{2} + C_{3} + C_{4}$

とする。

$C$ は単純閉曲線であり、 $\exp [- \frac{z^{2}}{2}]$ は正則であるから、Cauchyの積分定理により、

$\int_{C} \exp [- \frac{z^{2}}{2}] d z = 0$

また、 $R$ が十分に大きいとき、

$| \int_{C_{1}} \exp [- \frac{z^{2}}{2}] d z | = | \int_{0}^{1} \exp [- \frac{(- R + i t)^{2}}{2}] d t | \leq \int_{0}^{1} | \exp [- \frac{(- R + i t)^{2}}{2}] | d t = \int_{0}^{1} \exp [- ℜ \frac{(- R + i t)^{2}}{2}] d t = \int_{0}^{1} \exp [- \frac{R^{2} - t^{2}}{2}] d t \leq \int_{0}^{1} \exp [- \frac{R^{2} - 1}{2}] d t = \exp [- \frac{R^{2} - 1}{2}]$

なので、 $R \to \infty$ の極限を取ると、

$\int_{C_{1}} \exp [- \frac{z^{2}}{2}] d z \to 0$

同様に、

$\int_{C_{3}} \exp [- \frac{z^{2}}{2}] d z \to 0$

そこで、 $R \to \infty$ において、

$\int_{C_{2}} \exp [- \frac{z^{2}}{2}] d z + \int_{C_{4}} \exp [- \frac{z^{2}}{2}] d z \to 0$

右辺の第二項は、実軸上でのガウス積分であり、

$\int_{C_{4}} \exp [- \frac{z^{2}}{2}] d z \to - \sqrt{2 π}$

よって、

$\int_{C_{2}} \exp [- \frac{z^{2}}{2}] d z \to \sqrt{2 π}$

結局、

$E [\cos X] = \frac{1}{\sqrt{e} \cdot \sqrt{2 π}} \int_{i - \infty}^{i + \infty} \exp [- \frac{z^{2}}{2}] d z = \frac{1}{\sqrt{e} \cdot \sqrt{2 π}} lim_{R \to \infty} \int_{C_{2}} \exp [- \frac{z^{2}}{2}] d z = \frac{1}{\sqrt{e} \cdot \sqrt{2 π}} \sqrt{2 π} = \frac{1}{\sqrt{e}}$

が得られる。

証明2

$\cos x$ のマクローリン展開により、

$E [\cos X] = E [(1 - \frac{X^{2}}{2!} + \frac{X^{4}}{4!} - \dots)] = E [1] - \frac{E [X^{2}]}{2!} + \frac{E [X^{4}]}{4!} - \dots$

そこで、

$I_{n} := E [X^{2 n}] = \int_{- \infty}^{\infty} x^{2 n} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{\frac{- x^{2}}{2}} d x$

とおく。

部分積分により、 $\int_{- \infty}^{\infty} x^{2 n} e^{\frac{- x^{2}}{2}} d x = {[\frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1} e^{\frac{- x^{2}}{2}}]}_{- \infty}^{\infty} - \int_{- \infty}^{\infty} \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1} \cdot (- x) e^{\frac{- x^{2}}{2}} d x = 0 + \int_{- \infty}^{\infty} \frac{x^{2 n + 2}}{2 n + 1} e^{\frac{- x^{2}}{2}} d x = \frac{1}{2 n + 1} \int_{- \infty}^{\infty} x^{2 n + 2} e^{\frac{- x^{2}}{2}} d x$

がわかるので、

$I_{n + 1} = (2 n + 1) I_{n}$

という漸化式を得る。これを繰り返し用いて、

$I_{n} = (2 n - 1)!! I_{0} = (2 n - 1)!!$

となる。よって、

$E [\cos X] = I_{0} - \frac{I_{1}}{2!} + \frac{I_{2}}{4!} - \dots = 1 - \frac{1!!}{2!} + \frac{3!!}{4!} - \dots = 1 - \frac{1}{2 \cdot 1} + \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} - \dots = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 \cdot 2} - \dots = 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1!} + \frac{1}{2^{2}} \cdot \frac{1}{2!} - \dots = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- \frac{1}{2})^{n}}{n!} = e^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}}$

を得る。

補足

なお、 $\sin X$ の期待値は自明で $0$ である。
これは、被積分関数が偶関数と奇関数の積になるためである。

ここで検討した被積分関数のグラフは以下のようになる。ここでは、このグラフとx軸で囲まれた部分の(符号を考慮した)面積を求めたのである。

正規分布の特性関数を既知とするなら、この問題は非常に簡単である。

確率密度関数が偶関数であることから、

$ϕ (t) = E [e^{i t X}] = E [\cos (t X)]$

であるので、特性関数

$ϕ (t) = \exp [- \frac{t^{2}}{2}]$

に $t = 1$ を代入すれば直ちに結果が得られる。

正規分布の確率密度関数(ガウス関数)のフーリエ変換