楕円の方程式の導出

August 20, 2024

楕円の定義

楕円とは、平面上の相異なる2点からの距離の和が一定な点の軌跡のことをいう。

楕円の方程式の導出

やや面倒な計算であるが、楕円の方程式を導出する。

できるだけ丁寧に式変形を行う。

2つの点を $(- c, 0)$ と $(c, 0)$ とする。楕円の任意の点 $(x, y)$ は、この2点との距離の和が一定である。

この距離の和を $L$ とすると、

$\sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}} + \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}} = L$

左辺の第二項を右辺に移項して、

$\sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}} = L - \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}}$

両辺を2乗すると、

$(x + c)^{2} + y^{2} = {L - \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}}}^{2}$

右辺を展開して、

$(x + c)^{2} + y^{2} = L^{2} - 2 L \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}} + {(x - c)^{2} + y^{2}}$

右辺の最終項を左辺に移項して、

${(x + c)^{2} + y^{2}} - {(x - c)^{2} + y^{2}} = L^{2} - 2 L \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}}$

左辺を展開すると、

$(x^{2} + 2 c x + c^{2} + y^{2}) - (x^{2} - 2 c x + c^{2} + y^{2}) = L^{2} - 2 L \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}}$

左辺を整理すると、

$4 c x = L^{2} - 2 L \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}}$

右辺の $L^{2}$ を左辺に移項して、

$4 c x - L^{2} = - 2 L \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}}$

両辺2乗すると、

$(4 c x - L^{2})^{2} = 4 L^{2} {(x - c)^{2} + y^{2}}$

両辺を展開して、

$16 c^{2} x^{2} - 8 L^{2} c x + L^{4} = 4 L^{2} x^{2} - 8 L^{2} c x + 4 L^{2} c^{2} + 4 L^{2} y^{2}$

両辺に $8 L^{2} c x$ を足すと、

$16 c^{2} x^{2} + L^{4} = 4 L^{2} x^{2} + 4 L^{2} c^{2} + 4 L^{2} y^{2}$

$x$ と $y$ の項を左辺に、定数項を右辺に移項すると、

$16 c^{2} x^{2} - 4 L^{2} x^{2} - 4 L^{2} y^{2} = 4 L^{2} c^{2} - L^{4}$

左辺を $x^{2}$ でまとめると、

$4 (4 c^{2} - L^{2}) x^{2} - 4 L^{2} y^{2} = 4 L^{2} c^{2} - L^{4}$

右辺を $L^{2}$ でまとめると、

$4 (4 c^{2} - L^{2}) x^{2} - 4 L^{2} y^{2} = L^{2} (4 c^{2} - L^{2})$

両辺を $L^{2} (4 c^{2} - L^{2})$ で割ると、

$\frac{4 x^{2}}{L^{2}} - \frac{4 y^{2}}{4 c^{2} - L^{2}} = 1$

$L > 2 c$ だから、 $L^{2} - 4 c^{2} > 0$ となるので、これが出てくるように整理すると、

$\frac{4 x^{2}}{L^{2}} + \frac{4 y^{2}}{L^{2} - 4 c^{2}} = 1$

最後に、左辺の分母・分子を4で割ることによって、

$\frac{x^{2}}{(\frac{L}{2})^{2}} + \frac{y^{2}}{(\frac{L}{2})^{2} - c^{2}} = 1$

を得る。

$a = \frac{L}{2}$

とおけば、

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2} - c^{2}} = 1$

さらに、

$b^{2} = a^{2} - c^{2}$

とおけば、

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

である。

これは楕円の標準形と呼ばれる。