正多角形とその対角線によって作られる正多角形の相似比

命題

$n$を5以上の奇数とする。
正n角形の対角線をすべて引いたとき、内部に別の正n角形ができる。
元の正n角形と内部の正n角形の相似比$r$は、 $$r=\frac{\sin \frac{\theta }{2}}{\cos \theta }$$ で与えられる。
ただし、ここで、$\theta =\frac{\pi }{n}$とした。

証明のスケッチ

正n角形の外接円の半径の比に注目する。
もとの外接円の半径を1として、内部にできた正n角形の外接円の半径$r$を求めれば良い。
そこで、内部の正n角形の頂点を作る、2本の対角線に注目する。

$$n=2k+1(k\ge 2)$$ とおき、元の正多角形の頂点を、 $$P_0,P_1,\dots ,P_k,P_{k+1},\dots ,P_{2k},P_{2k+1}$$ とおく。
内部の正多角形の頂点を作るような対角線は、 (内部にできる正多角形の一辺となるような対角線のセットは、「中心との距離が最も短いような」対角線のセットである、という考察から、) $$\overline{P_0{P}_k},\overline{P_1{P}_{k+1}},\dots$$ であることがわかる。

対称性から、対角線$\overline{P_0{P}_k}$, $\overline{P_1{P}_{k+1}}$の交点$P^{\prime }$について、$O{P}^{\prime }$の長さを考えることにする。
中心$O$から、$\overline{P_0{P}_k}$に下ろした垂線の足を$H$とすると、 $$\mathrm{\angle }O{P}_{0}H=\frac{1}{2}(\pi -\mathrm{\angle }{P}_{0}O{P}_k)=\frac{1}{2}(\pi -k\mathrm{\angle }{P}_{0}O{P}_1)=\frac{1}{2}(\pi -k\frac{2\pi }{2k+1})=\frac{\pi }{2n}=\frac{\theta }{2}$$ であることから、 $$OH=\sin \frac{\theta }{2}$$

また、$P^{\prime }H$は内部の正多角形の一辺の半分であり、したがって、 $$\mathrm{\angle }HO{P}^{\prime }=\frac{1}{2}\frac{2\pi }{n}=\frac{\pi }{n}=\theta$$

ゆえに、 $$r=O{P}^{\prime }=\frac{OH}{\cos \theta }=\frac{\sin \frac{\theta }{2}}{\cos \theta }$$

補足

$$r(n)=\frac{\sin \frac{\pi }{2n}}{\cos \frac{\pi }{n}}$$ は、$(2,\mathrm{\infty })$上の連続関数に拡張できて、グラフは以下のようになる。

• 数学
• 幾何