メリン変換

September 14, 2024

メリン変換とはなにか?

メリン変換とは、積分変換(integral transform)の一つである。次のように定義される。

$\hat{f} (s) = \int_{0}^{\infty} f (x) x^{s - 1} d x$

ここで、 $s \in C$ である。

関数の変換であるという意味で、

$M : f \mapsto \hat{f}$

という記法も使われる。

積分変換

次の式を用いた関数の変換を積分変換という。

$\hat{f} (y) = \int_{a}^{b} f (x) K (x, y) d x$

ここで、 $K (x, y)$ は核(kernel)と呼ばれる。

積分変換には様々な種類のものがあり、代表的なものとしてはフーリエ変換、ラプラス変換がある。

メリン反転公式 (Mellin inversion formula)

メリン変換の逆変換は、次で与えられる。

$f (x) = \frac{1}{2 π i} \int_{σ - i \infty}^{σ + i \infty} \hat{f} (s) x^{- s} d s$

ここで $σ \in R$ である。

右辺の積分路は、ラプラス逆変換で現れるブロムウィッチ積分と同じ積分路である。

この公式は、フーリエ変換を既知とすれば、次のように得られる。

定義式の積分で、 $x = e^{u}$ と変数変換すると、

$\hat{f} (s) = \int_{u = - \infty}^{\infty} f (e^{u}) e^{u (s - 1)} e^{u} d u = \int_{u = - \infty}^{\infty} f (e^{u}) e^{u s} d u$

さらに、

$s = σ - i t$ とおくと、

$\hat{f} (σ - i t) = \int_{u = - \infty}^{\infty} f (e^{u}) e^{u (σ - i t)} d u = \int_{u = - \infty}^{\infty} f (e^{u}) e^{σ u} e^{- i t u} d u$

この式で、

$g (u) = f (e^{u}) e^{σ u}$

$G (t) = \hat{f} (σ - i t)$

とおけば、 $G (t)$ は $g (u)$ のフーリエ変換である。フーリエ逆変換によって、

$g (u) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} G (t) e^{i t u} d t$

すなわち、

$f (e^{u}) e^{σ u} = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \hat{f} (σ - i t) e^{i t u} d t$

よって、

$f (e^{u}) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \hat{f} (σ - i t) e^{i t u} e^{- σ u} d t = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \hat{f} (σ - i t) e^{- u (σ - i t)} d t = \frac{1}{2 π} \int_{s = σ + i \infty}^{σ - i \infty} \hat{f} (s) e^{- u s} (- \frac{1}{i} d s) = \frac{1}{2 π i} \int_{σ - i \infty}^{σ + i \infty} \hat{f} (s) e^{- u s} d s$

すなわち、

$f (x) = \frac{1}{2 π i} \int_{σ - i \infty}^{σ + i \infty} \hat{f} (s) x^{- s} d s$

となり、メリン反転公式が得られた。