可測空間と位相空間の比較

March 9, 2021

簡潔な定義

まず、位相空間と可測空間について、定義をシンプルに述べる。

集合 $X$ に対して、 $X$ の部分集合族 $O$ が定義されていて、 $O$ は空集合 $\emptyset$ と $X$ を含み、任意の合併(非可算無限でもよい)、有限個の交叉について閉じているとき、組 $(X, O)$ を位相空間という。( $O$ を $X$ の開集合系という。)

集合 $X$ に対して、 $X$ の部分集合族 $B$ が定義されていて、 $B$ は空集合 $\emptyset$ と $X$ を含み、可算個の交叉・合併、補集合について閉じているとき、組 $(X, B)$ を可測空間という。( $B$ を $X$ のσ代数という。)

定義を書き下すと違いは明白であり、「どの操作について閉じているか」が違う。

表にまとめると次のようになる。

特殊な例として、 $X = {\emptyset, X}$ とすると、 $X$ は、位相空間および可測空間を定める。それぞれ、自明な(trivial)位相、自明なσ代数という。位相空間については、密着位相という言い方もする。

また、別の特殊な例として、 $X = 2^{X}$ とすると、これもまた、位相空間及び可測空間を定める。それぞれ、離散(discrete)位相、離散σ代数という。

集合 $X$ 上に考えられる部分集合族には、集合の包含関係により定まる順序があるが、この順序でより小さい方を粗い(coarse)といい、より大きい方を細かい(fine)という。

自明な位相・σ代数は、それぞれで最も粗いものであり、離散位相・σ代数は、それぞれで最も細かいものである。

集合 $X$ の部分集合族 $X$ を含む最小の（最も粗い）σ代数を考えることができる。これは、閉包を取っているようなものだが、 $X$ が生成する(generate)σ代数、という言い方をする。離散σ代数があるため、このようなσ代数の存在は保証される。

位相空間 $X$ の開集合系 $O$ が生成するσ代数を、 $X$ のボレル集合体と言う。

ボレル集合体を考えることによって、位相空間と可測空間の概念との間を埋めることができる。

開集合の補集合を閉集合と言った。
ボレル集合体は、開集合の補集合も要素に持つから、すべての開集合と閉集合を含む最小のσ代数である。

集合 $X = {1, 2, 3}$ とする。部分集合族 $O = {\emptyset, {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}}$ は、 $X$ に位相を定める。

実際、 $O$ は合併・交叉について閉じている。

この位相に対して、ボレル集合族 $B [O]$ を考えると、

というように、 $B [O]$ の元を次々と生成することができ、結局 $B [O] = {\emptyset, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} = 2^{X}$ となる。

すなわち、この位相に対するボレル集合族は離散σ代数である。

一方同じ集合 $X$ に対して、開集合系 $O = {\emptyset, {1}, {1, 2, 3}}$ を考えたときは、

$B [O] = {\emptyset, {1}, {2, 3}, {1, 2, 3}}$ となり、非自明な(離散でない)σ代数が得られる。