なんのひねりもなく、円の交点を求める
2つの円
$$ C_1: (x - a_1) ^ 2 + (y - b_1) ^ 2 = r_1 ^ 2 $$
$$ C_2: (x - a_2) ^ 2 + (y - b_2) ^ 2 = r_2 ^ 2 $$
を考える。
この交点を考えよう。
ただし今、$C_1$の中心から見た、交点の方向にしか興味はない。
また、$C_1$と$C_2$の位置関係は、中心間の距離 $|(a_1, b_1) - (a_2, b_2)|$、半径$r_1$, $r_2$の大小関係によって判定できるが、ここでは、三角不等式
$$ |r_1 - r_2| < |(a_1, b_1) - (a_2, b_2)| < r_1 + r_2 $$
が成り立っている、つまり、$C_1$と$C_2$は2点で交わっているものとする。
2つの円の方程式を辺々引くことで、
$$ (-2a_1 + 2a_2)x + (-2b_1 + 2b_2)y + a_1 ^ 2 - a_2 ^ 2 + b_1 ^ 2 - b_2 ^ 2 = r_1 ^ 2 - r_2 ^ 2 $$
$$ -2(a_1 - a_2)x + -2(b_1 - b_2)y + (a_1 + a_2)(a_1 - a_2) + (b_1 + b_2)(b_1 - b_2) = r_1 ^ 2 - r_2 ^ 2 $$
$$ (a_1 - a_2)(a_1 + a_2 - 2x) + (b_1 - b_2)(b_1 + b_2 - 2y) = r_1 ^ 2 - r_2 ^ 2 $$
ここで、
$$ x = a_1 + r_1 \cos{\theta} $$
$$ y = b_1 + r_1 \sin{\theta} $$
とおき、先の式に代入すると、
$$ (a_1 - a_2)(-a_1 + a_2 - 2r_1 \cos{\theta}) + (b_1 - b_2)(-b_1 + b_2 - 2r_1 \sin{\theta}) = r_1 ^ 2 - r_2 ^ 2 $$
となる。
$$ \alpha = a_1 - a_2 $$
$$ \beta = b_1 - b_2 $$
$$ \rho ^ 2 = r_1 ^ 2 - r_2 ^ 2 $$
とおいて整理すると、
$$ -\alpha(\alpha + 2r_1\cos{\theta}) - \beta(\beta + 2r_1\sin{\theta}) = \rho ^ 2 $$
$$ \alpha\cos{\theta} + \beta\sin{\theta} = -\frac{\rho ^ 2 + \alpha ^ 2 + \beta ^ 2}{2r_1} $$
今、
$$ \gamma = |\alpha + i \beta| = \sqrt{\alpha ^ 2 + \beta ^ 2} $$
$$ \phi = \angle{(\alpha + i \beta)} $$
とおけば、
$$ \cos{(\theta - \phi)} = -\frac{\rho ^ 2+ \gamma ^ 2}{2r_1\gamma} $$
$$ \theta = \phi \pm \arccos{(-\frac{\rho ^ 2+ \gamma ^ 2}{2r_1\gamma})} $$
となり、$\theta$が求まる。
これは、元をたどると、 交点と2つの円の中心のなす三角形に対して余弦定理を用い、円の中心同士を結ぶ直線の傾き分補正したのと同じである。