なんのひねりもなく、円の交点を求める

March 2, 2021

2つの円

$C_{1} : (x - a_{1})^{2} + (y - b_{1})^{2} = r_{1}^{2}$

$C_{2} : (x - a_{2})^{2} + (y - b_{2})^{2} = r_{2}^{2}$

を考える。

この交点を考えよう。

ただし今、 $C_{1}$ の中心から見た、交点の方向にしか興味はない。

また、 $C_{1}$ と $C_{2}$ の位置関係は、中心間の距離 $| (a_{1}, b_{1}) - (a_{2}, b_{2}) |$ 、半径 $r_{1}$ , $r_{2}$ の大小関係によって判定できるが、ここでは、三角不等式

$| r_{1} - r_{2} | < | (a_{1}, b_{1}) - (a_{2}, b_{2}) | < r_{1} + r_{2}$

が成り立っている、つまり、 $C_{1}$ と $C_{2}$ は2点で交わっているものとする。

2つの円の方程式を辺々引くことで、

$(- 2 a_{1} + 2 a_{2}) x + (- 2 b_{1} + 2 b_{2}) y + a_{1}^{2} - a_{2}^{2} + b_{1}^{2} - b_{2}^{2} = r_{1}^{2} - r_{2}^{2}$

$- 2 (a_{1} - a_{2}) x + - 2 (b_{1} - b_{2}) y + (a_{1} + a_{2}) (a_{1} - a_{2}) + (b_{1} + b_{2}) (b_{1} - b_{2}) = r_{1}^{2} - r_{2}^{2}$

$(a_{1} - a_{2}) (a_{1} + a_{2} - 2 x) + (b_{1} - b_{2}) (b_{1} + b_{2} - 2 y) = r_{1}^{2} - r_{2}^{2}$

ここで、

$x = a_{1} + r_{1} \cos θ$

$y = b_{1} + r_{1} \sin θ$

とおき、先の式に代入すると、

$(a_{1} - a_{2}) (- a_{1} + a_{2} - 2 r_{1} \cos θ) + (b_{1} - b_{2}) (- b_{1} + b_{2} - 2 r_{1} \sin θ) = r_{1}^{2} - r_{2}^{2}$

となる。

$α = a_{1} - a_{2}$

$β = b_{1} - b_{2}$

$ρ^{2} = r_{1}^{2} - r_{2}^{2}$

とおいて整理すると、

$- α (α + 2 r_{1} \cos θ) - β (β + 2 r_{1} \sin θ) = ρ^{2}$

$α \cos θ + β \sin θ = - \frac{ρ^{2} + α^{2} + β^{2}}{2 r_{1}}$

今、

$γ = | α + i β | = \sqrt{α^{2} + β^{2}}$

$ϕ = ∠ (α + i β)$

とおけば、

$\cos (θ - ϕ) = - \frac{ρ^{2} + γ^{2}}{2 r_{1} γ}$

$θ = ϕ \pm \arccos (- \frac{ρ^{2} + γ^{2}}{2 r_{1} γ})$

となり、 $θ$ が求まる。

これは、元をたどると、交点と2つの円の中心のなす三角形に対して余弦定理を用い、円の中心同士を結ぶ直線の傾き分補正したのと同じである。