フーリエ変換のself-reciprocal functionの例

September 21, 2024

命題

関数

$f (t) = \frac{1}{\sqrt{| t |}}$

はフーリエ変換のself-reciprocal functionである。

すなわち、フーリエ変換によって同じ関数に写される。

証明

まず、 $f (t)$ は偶関数であることに注意する。

次の補題を示しておく。

補題

$f (t)$ が偶関数のとき、そのフーリエ変換は

$F (ω) = 2 \int_{0}^{\infty} f (t) \cos (ω t) d t$

で与えられる。 $F (ω)$ は偶関数である。

補題の証明

フーリエ変換の定義により、

$F (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- i ω t} d t = \int_{- \infty}^{0} f (t) e^{- i ω t} d t + \int_{0}^{\infty} f (t) e^{- i ω t} d t$

右辺の第1項の積分について、 $s = - t$ で変数変換すると、

$\int_{- \infty}^{0} f (t) e^{- i ω t} d t = \int_{\infty}^{0} f (- s) e^{- i ω (- s)} (- d s) = \int_{0}^{\infty} f (s) e^{i ω s} d s = \int_{0}^{\infty} f (t) e^{i ω t} d t$

よって、

$F (ω) = \int_{0}^{\infty} f (t) e^{i ω t} d t + \int_{0}^{\infty} f (t) e^{- i ω t} d t = \int_{0}^{\infty} f (t) (e^{i ω t} + e^{- i ω t}) d t = \int_{0}^{\infty} f (t) (2 \cos (ω t)) d t = 2 \int_{0}^{\infty} f (t) \cos (ω t) d t$

である。また、この式を使うと、

$F (- ω) = 2 \int_{0}^{\infty} f (t) \cos (- ω t) d t = 2 \int_{0}^{\infty} f (t) \cos (ω t) d t = F (ω)$

となり、 $F (ω)$ は偶関数であることがわかる。

本題の証明

$f (t)$ は偶関数なので、補題をそのまま使用できる。

$F (ω)$ も偶関数となるので、 $ω > 0$ の範囲でまずは考える。

$F (ω) = 2 \int_{0}^{\infty} f (t) \cos (ω t) d t = 2 \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{| t |}} \cos (ω t) d t = 2 \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{t}} \cos (ω t) d t$

$t = s^{2}$ で置換積分を行うと、

$F (ω) = 2 \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{s^{2}}} \cos (ω s^{2}) (2 s d s) = 4 \int_{0}^{\infty} \frac{1}{s} \cos (ω s^{2}) s d s = 4 \int_{0}^{\infty} \cos (ω s^{2}) d s$

$u = \sqrt{ω} s$ で置換積分を行うと、

$F (ω) = 4 \int_{0}^{\infty} \cos (u^{2}) (\frac{1}{\sqrt{ω}} d u) = \frac{4}{\sqrt{ω}} \int_{0}^{\infty} \cos (u^{2}) d u$

右辺はフレネル積分である。結局、

$F (ω) = \frac{4}{\sqrt{ω}} \frac{1}{2} \sqrt{\frac{π}{2}} = \sqrt{\frac{2 π}{ω}}$

である。 $ω < 0$ の範囲も考えると、

$F (ω) = \sqrt{\frac{2 π}{| ω |}}$

となる。これは $\sqrt{2 π}$ の定数倍を除いて、 $f (t)$ と同じである。

もちろん、フーリエ変換の複数の定義のうち、フーリエ変換がユニタリ変換となるような定義を用いておけば、これは全く同じになる。

したがって、

$f (t) = \frac{1}{\sqrt{| t |}}$

は、フーリエ変換のself-reciprocal functionの一例である。

補足

フーリエ変換の結果同じ関数になるものとしては、ガウス関数

$f (t) = \exp [- \frac{t^{2}}{2}]$

が有名である(正規分布の確率密度関数(ガウス関数)のフーリエ変換)が、他にもそういった関数は多数あり、本題はその一例である。